Question

在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求證：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的大小；
（3）求點C到平面PDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直，利用題目提供的線段的長度關系由勾股定理即可得到線線垂直關系．
（2）要求二面角A-PD-E的大小先利用二面角的平面角的定義在兩個半平面內分別作棱的垂線，得到其平面角，然后通過解三角形解得其平面角的大小．
（3）先利用線面平行將點到平面的距離轉化為線面之間的距離，然后探討該直線上另一點到平面的距離，利用線面垂直，面面垂直的性質得到點到平面的距離，要求學生能靈活應用平行，垂直的關系．
解答：（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2a，
∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．
同理PA⊥AE．
∵AB∩AE=A，
∴PA⊥平面ABCDE．

（2）∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G，
∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．
過G作GH⊥PD于H，連AH，
由三垂線定理得AH⊥PD．
∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．
在直角△PAE中，AG=a．在直角△PAD中，AH=a，
∴在直角△AHG中，sin∠AHG==．
∴∠AHG=arcsin．
∴二面角A-PD-E的大小為arcsin．
（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，
取AE中點F，連CF，
∵AF∥=BC，
∴四邊形ABCF為平行四邊形．
∴CF∥AB，而AB∥DE，
∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE，
∴CF∥平面PDE．
∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．
又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．
∴平面PAE⊥平面PDE．
∴過F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE．
∴FG的長即F點到平面PDE的距離．
在△PAE中，PA=AE=2a，F為AE中點，FG⊥PE，
∴FG=a．
∴點C到平面PDE的距離為a．
點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、點到平面的距離等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是個中檔題．