Question

已知函數f（x）=ln（1+2x）-2x+ax²，
（1）若a=1，求f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）存在兩個極值點，且都小于1，求a的取值范圍；
（3）若對f（x）定義域內的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間；
（2）求導函數，利用函數f（x）存在兩個極值點，且都小于1，結合函數的定義域，即可求a的取值范圍；
（3）令t=2x，則原不等式等價于ln(1+t)-t≤-

1

4

at2，分類討論，分離參數，可得結論．

解答：解：（1）若a=1時，f（x）=ln（1+2x）-2x+x²，∴f′(x)=

2x(2x-1)

1+2x

（x＞-

1

2

）．
當x∈(-

1

2

，0)∪(

1

2

，+∞)，f′（x）＞0，則f（x）的單調遞增區間為(-

1

2

，0)和(

1

2

，+∞)；
當x∈(0，

1

2

)，f′（x）＜0，則f（x）的單調遞減區間為(0，

1

2

)；
（2）f′(x)=2•

2ax2-(2-a)x

1+2x

（x＞-

1

2

）．
由函數f（x）存在兩個極值點，可知a≠2
∵兩個極值點都小于1，結合函數的定義域有-

1

2

＜

1

a

-

1

2

＜1，解得a＞

2

3

綜上，a＞

2

3

且a≠2；
（3）令t=2x，則原不等式等價于ln(1+t)-t≤-

1

4

at2
t=0，滿足題設；
t≠0，有

ln(1+t)-t

t2

≤-

a

4

∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴

ln(1+t)-t

t2

＜0
∴0≤-

a

4

∴a≤0．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，有難度．