Question

設函數f(x)=

x2-ax+a

ex

．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；
（2）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，f（x）=

x2

ex

，f′（x）=

2x-x2

ex

，于是可求f′（1）=

1

e

，f（1）=

1

e

，從而可求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；
（2）由f（x）=

x2-ax+a

ex

，可求得f′（x）=-

(x-2)(x-a)

ex

，通過對a與2的大小關系的討論，即可求得f（x）的單調區間．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=

x2

ex

，f′（x）=

2x-x2

ex

，
∴f′（1）=

1

e

，即切線的斜率k=

1

e

，又f（1）=

1

e

，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為：y-

1

e

=

1

e

（x-1），即y=

1

e

x．
（2）∵f（x）=

x2-ax+a

ex

，
∴f′（x）=

(2x-a)ex-(x2-ax+a)ex

e2x

=

-x2+(a+2)x-2a

ex

=-

(x-2)(x-a)

ex

．
若a＞2，由f′（x）＞0得，2＜x＜a；由f′（x）＜0得x＜2或x＞a，
即當a＞2時，f（x）的單調遞增區間為（2，a），單調遞減區間為（-∞，2），（a，+∞）；
同理可得，當a=2時，f′（x）≤0，f（x）在R上單調遞減；
當a＜2時，f（x）的單調遞增區間為（a，2），單調遞減區間為（-∞，a），（2，+∞）；

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，在（2）中求得f′（x）=-

(x-2)(x-a)

ex

是關鍵，著重考查導數的應用與分類討論思想，屬于中檔題．