Question

在平面直角坐標系的距離之比為．設動點P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設直線的值．
（3）若點A在第一象限，證明：當

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），則依題意有：，由此可求出曲線C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足，消去y并理得（k²+4）x²+2kx-3=0．再由根與系數的關系能夠推懷出實數k=±1．
（3）由題意知=x₁²-x₂²+（kx₁+1）²-（kx₂+1）²=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）（1+k²）+2k]=由此可知在題設條件下，恒有
解答：解：（1）設P（x，y），則依題意有：
故曲線C的方程為（4分）
注：若直接用，
得出，給（2分）．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足
消去y并理得（k²+4）x²+2kx-3=0
故（5分）
，
而
∴
化簡整理得17k⁴+36k²-53=0（7分）
解得：k²=1經檢驗k=±1時方程※的△＞0∴k=±1
（3）=x₁²-x₂²+（kx₁+1）²-（kx₂+1）²=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）（1+k²）+2k]=
因為A在第一象限，故x₁＞0．
由
故，
即在題設條件下，恒有（12分）
點評：本題考查圓錐曲線知識的綜合運用，解題時要注意公式的靈活運用，認真審題，仔細解答．