Question

設函數f（x）=x²+aln（x+1），a∈R．（注：）．
（1）討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數f（x）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2x+==，
①當a≥時，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上單調遞增；
②當a＜時，f′（x）=0有兩個解，，，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜時，-1＜x₁＜x₂，此時f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；
若x₁≤-1，即a≤0時，x₁≤-1＜x₂，此時f（x）在（-1，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增；
（2）由（1）知：當0＜a＜時f（x）有兩個極值點，，，x₁＜x₂，
則f（x₂）=+aln（+1），令t=，0＜t＜1，a=，，
f（x₂）=+ln，令g（t）=+ln（0＜t＜1），g′（t）=-tln＞0，
所以g（t）在（0，1）上為增函數，所以g（0）＜g（t）＜g（1），即+＜g（t）＜0，
故f（x₂）的取值范圍為（+，0）．
分析：（1）先求函數f（x）的定義域，再求導數f′（x），由于含參數a，分類討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即；
（2）由（1）知存在兩個極值點時a的范圍，表示出f（x₂），構造函數，利用導數即可求得其最值，從而得到取值范圍；
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及函數最值問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．