Question

設f(x)=

ex

1+ax2

，其中a為正實數
（Ⅰ）當a=

4

3

時，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若f（x）為R上的單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先對f（x）求導，將a=

4

3

代入，令f′（x）=0，解出后判斷根的兩側導函數的符號即可．
（Ⅱ）因為a＞0，所以f（x）為R上為增函數，f′（x）≥0在R上恒成立，轉化為二次函數恒成立問題，只要△≤0即可．

解答：解：對f（x）求導得
f′（x）=

1+ax2-2ax

(1+ax2)2

×e^x
（Ⅰ）當a=

4

3

時，若f′（x）=0，則4x²-8x+3=0，解得
x1=

3

2

，x2=

1

2

結合①，可知

所以，x1=

3

2

是極小值點，x1=

1

2

是極大值點．
（Ⅱ）若f（x）為R上的單調函數，則f′（x）在R上不變號，
結合①與條件a＞0知ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
因此△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，由此并結合a＞0，知0＜a≤1．

點評：本題考查求函數的極值問題、已知函數的單調性求參數范圍問題，轉化為不等式恒成立問題求解．