Question

已知函數(shù)f(x)=

x-c

x+1

，其中c為常數(shù)，且函數(shù)f（x）圖象過原點．
（1）求c的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）已知函數(shù)g(x)=f(ex)-

1

3

，求函數(shù)g（x）的零點．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）圖象過原點，即f（0）=0，解得 c的值．
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，化簡f（x₁）-f（x₂） 的解析式為-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

＜0，得f（x₁）＜f（x₂ ），從而證明函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）令函數(shù)g(x)=f(ex)-

1

3

=0，求出x的值，即為函數(shù)的零點．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象過原點，∴f（0）=0，解得 c=0，故函數(shù)f（x）=

x

x+1

．
（2）證明：設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

．
由0≤x₁＜x₂≤2 可得，x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，故有-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂ ），
故函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）令g(x)=f(ex)-

1

3

=

ex

ex+1

-

1

3

=0，
∴ex=

1

2

，即x=ln

1

2

=-ln2，
即函數(shù)g（x）的零點為 x=-ln2．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)零點的定義、求函數(shù)零點的方法，屬于基礎(chǔ)題．