Question

數列{a_n}中，a₁=p＞0，a_n+1a_n=（n+2）（n+1），n∈N^*，
（1）若{a_n}為等差數列，求p；
（2）記f(n)=

an+2

an

，求f（n），并求a₁+a₃+…+a_2n-1．

Answer 1

分析：（1）設數列的公差為d，根據a₂a₁=a₁（a₁+d）和a₃a₂=（a₁+d）（a₁+2d）的值可求得d和a₁的值，進而求出p．
（2）通過

an+2an+1

an+1an

=

an+2

an

可求出f（n），再根據等差數列求和公式求得a₁+a₃+…+a_2n-1．

解答：解：（1）若{a_n}為等差數列，設公差為d，
∵a_n+1a_n=（n+2）（n+1）
∴a₂a₁=6，a₃a₂=12
∴

a2a1

a3a2

=

a1

a3

=

a1

a1+ 2d

=

6

12

∴a₁=2d
∴a₂a₁=a₁（a₁+d）=2d（2d+d）=6
∴d=1，a₁=p=2
∴p=2
（2）∵

an+2an+1

an+1an

=

an+2

an

=

(n+3)(n+2)

(n+2)(n+1)

=

n+3

n+1

∴記f(n)=

an+2

an

=

n+3

n+1

∵a₁=p
∴a_2n-1=np（n=1也適合），
∴a1+a3+a2n-1=

n(n+1)

2

p

點評：本題主要考查數列的求和問題．做此類題要從a_n+1和a_n的關系中提取最大信息，通過加減或乘除的方式達到化簡的目的．