Question

已知點P（x，y）為雙曲線（b為正常數(shù)）上任一點，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點，過P₁作右準線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長交y軸于P₂。

（1） 求線段P₁P₂的中點P的軌跡E的方程；
（2） 設軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N 兩點，求證：以MN為直徑的圓過兩定點。

Answer 1

解：（1）由已知得，
則直線的方程為：，
令得，
即，
設，則，
即代入得：，
即P的軌跡E的方程為。
（2）在中令得，則不妨設，
于是直線QB的方程為：，
直線QD的方程為：，
則，
則以為直徑的圓的方程為：，
令得，
而在上，
則，
于是，
即以MN為直徑的圓過兩定點。