Question

函數y=f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是減函數，對任意非零實數m、n，都有f（m•n）=f（m）+f（n）．
（1）求證：f（1）=f（-1）=0；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）+f（x-1）≤2．

Answer 1

分析：（1）根據抽象函數“湊”的原則，結f（m•n）=f（m）+f（n）．分別令m=n=1，m=n=-1即可得到答案；
（2）先利用條件求出f（4）=2，不等式轉化為 f[（x+3）（x-1）]≤f（4），再利用函數的奇偶性和單調性來解，即可得到不等式的解集．

解答：解：（1）令m=n=1
∵f（m•n）=f（m）+f（n）．
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令m=-1，n=-1
f（1）=f（-1）+f（-1）=0
∴2f（-1）=0，f（-1）=0；（2分）
∴f（1）=f（-1）=0；
（2）∵f（x）在其定義域（0，+∞）上為減函數，
f（2）=1，∴f（4）=2，
 又∵f（m•n）=f（m）+f（n）．
∴不等式f（x+3）+f（x-1）≤2即 f[（x+3）（x-1）]≤f（4），
因為f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），所以f（x）是偶函數，在（-∞，0）上是增函數
∵（x+3）（x-1）=（x+1）²-4≥-4，
∴當（x+3）（x-1）為負數時，有f[（x+3）（x-1）]≥f（-4）=2，不成立
∴原不等式化為（x+3）（x-1）≥4，解之得x≤-1-2

2

或x≥-1+2

2

，
因此，不等式的解集是 {x|x≤-1-2

2

或x≥-1+2

2

}．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明及抽象函數值，抽象函數及其應用，利用題中的兩個條件把不等式進行轉化，再利用定義域及單調性來解．