Question

【題目】某廠根據市場需求開發三角花籃支架（如圖），上面為花籃，支架由三根細鋼管組成，考慮到鋼管的受力和花籃質量等因素，設計支架應滿足：①三根細鋼管長均為1米（粗細忽略不計），且與地面所成的角均為；②架面與架底平行，且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形；③三根細鋼管相交處的節點分三根細鋼管上、下兩段之比均為.定義：架面與架底的距離為“支架高度”，架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.

（1）當時，求“支架高度”；

（2）求“支架需要空間”的最大值.

Answer 1

【答案】（1）米.（2）立方米.

【解析】

（1）根據題意與地面所成的角為，米，從而.

（2）過作平面，垂足為，且，表示出，進而，，令，利用導數即可求解.

解：（1）因為架面與架底平行，且與地面所成的角為，米，

所以“支架高度”（米）.

（2）過作平面，垂足為.

又平面，所以，

又與地面所成的角為，所以，

同理，

所以為等邊三角形外心，也為其重心，

所以，

，

記“支架需要空間”為，則，.

令，則.

所以，.

又，

則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

所以當時，（立方米）.

答：（1）當時，“支架高度”為米；

（2）“支架需要空間”的最大值為立方米.