Question

若x，y∈R，集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|ax+by=1，a＞0，b＞0}，且A∩B至多有一個元素，則A∩B應滿足的關系為

a²+b²≤1（a＞0，b＞0）

．

Answer 1

分析：由已知中集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|ax+by=1，a＞0，b＞0}，我們可得A∩B的元素即為圓x²+y²=1與直線ax+by=1，a＞0，b＞0的交點，根據A∩B至多有一個元素，可得圓心（0，0）到直線ax+by-1=0的距離不小于1，進而可得A∩B應滿足的關系．

解答：解：∵集合A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原點為圓心，以1為半徑的圓
B={（x，y）|ax+by=1，a＞0，b＞0}表示一條直線
若A∩B至多有一個元素，
則直線與圓相切或相離
即圓心（0，0）到直線ax+by-1=0的距離不小于1
即d=

1

a2+b2

≥1（a＞0，b＞0）
即a²+b²≤1（a＞0，b＞0）
故答案為：a²+b²≤1（a＞0，b＞0）

點評：本題考查的知識點是集合關系中的參數取值問題，直線與圓的位置關系，集合交集的定義，其中正確理解A∩B至多有一個元素，表示圓心（0，0）到直線ax+by-1=0的距離不小于1，并由此構造出不等式是解答本題的關鍵．解答時易忽略已知中a＞0，b＞0的限制，而錯解為a²+b²≤1．