Question

已知tanα，tanβ是方程x²-4px-3=0（ p為常數）的兩個根．
（1）求tan（α+β）；
（2）求2cos2αcos2β+2sin²（α-β）．（可利用的結論：sin2θ=

2tanθ

1+tan2θ

，cos2θ=

1-tan2θ

1+tan2θ

）

Answer 1

分析：（1）根據韋達定理可知tanα+tanβ和tanαtanβ的表達式，進而利用正切函數的兩角和公式求得tan（α+β）的值．
（2）利用余弦的二倍角公式對原式進行整理，進而利用萬能公式和tan（α+β）的值求得答案．

解答：解：（1）∵tanα，tanβ是方程x²-4px-3=0
∴tanα+tanβ=4p，tanαtanβ=-3
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=p

（2）2cos2αcos2β+2sin²（α-β）
=2cos2αcos2β+1-cos2（α-β）
=2cos2αcos2β-cos2αcosβ-sin2αsinβ
=cos2αcos2β-sin2αsinβ
=cos2（α+β）=

1-tan2(α+β)

1+tan2(α+β)

=

2

1+p2

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，兩角和公式的化簡求值．要求考生對三角函數基本公式的熟練記憶．