Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n+1（n=1，2，3，…）．
（1）若{a_n}是等差數列，求其首項a₁和公差d；
（2）證明{a_n}不可能是等比數列；
（3）若a₁=-1，是否存在實數k和b使得數列{ a_n+kn+b}是等比數列，如存在，求出{a_n}的前n項和，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，及{a_n}是等差數列，可求其首項a₁和公差d；
（2）利用反證法，即可證得；
（3）假設存在，利用數列{a_n+kn+b}是等比數列，建立等式，即可求得{a_n}的前n項和

解答：（1）解：∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∵{a_n}是等差數列，∴2a₂=a₁+a₃，∴2（2a₁+2）=a₁+（4a₁+7），∴a₁=-3，a₂=-4
∴d=a₂-a₁=-1；
（2）證明：假設{a_n}是等比數列，則a22=a1a3
∴（2a₁+2）²=a₁（4a₁+7），∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
∵a₄=2a₃+4=-14，∴a32≠a2a4與等比數列矛盾
∴假設不成立
∴{a_n}不可能是等比數列；
（3）解：假設存在，則有

an+1+k(n+1)+b

an+kn+b

=

2an+k(n+1)+k+b+1

an+kn+b

=常數
∴

k+1=2k k+b+1=2b

，∴

k=1 b=2

∴{a_n+n+2}是等比數列，首項為2，公比為2
∴a_n+n+2=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-n-2
∴{a_n}的前n項和為

2(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-2n=2n-

n2

2

-

5n

2

-1

點評：本題考查數列遞推式，考查反證法的運用，考查數列的求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．