Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求PC與平面PAD所成角的大小；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的大小；
（Ⅲ）在BC邊上是否存在一點G，使得D點到平面PAG的距離為，若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PA，
又因為底面ABCD是矩形，
所以CD⊥AD，
所以由線面垂直的判定定理可得：CD⊥平面APD，
所以PC與平面PAD所成角既為∠CPD，…．（2分）
又由題意可得：PD=，CD=1
所以∠CPD=…．（2分）
（Ⅱ）設CD中點為F，連接EF，則EF∥PC
所以AE與EF所成角即為所求…．（1分）
又，
∴…（3分）
∴異面直線AE與PC所成角的大小為…．（1分）
（Ⅲ）假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAG，
所以DQ=…．（3分）
∴BG=1＜2，…．（1分）
故存在點G，當BG=1時，使點D到平面PAG的距離為1…．（1分）
分析：（Ⅰ）由題意可得：CD⊥PA，CD⊥AD，所以CD⊥平面APD，可得PC與平面PAD所成角既為∠CPD，再利用解三角形的有關知識即可求出答案．
（Ⅱ）設CD中點為F，連接EF，則EF∥PC，可得AE與EF所成角即為所求，然后利用解三角形的有關知識得到答案．
（Ⅲ）假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAG，可得DQ=，進而得到BG=1，然后根據題意可得此點G符合題意．
點評：本題考查線面垂直的判定定理與空間中的線線角與線面角的有關知識，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．