Question

如圖，有一塊矩形草地，要在這塊草地上開辟一個內接四邊形建體育設施（圖中陰影部分），使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設AE=x，陰影部分面積為y．
（1）求y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；
（2）當x為何值時，陰影部分面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關于x的函數關系式；
（2）由（1）知y是關于x的二次函數，用二次函數求最值的方法進行求解．

解答：解：（1）S_△AEH=S_△CFG=

1

2

x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0 a-x＞0 2-x≥0 a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，函數的定義域為{x|0＜x≤2}（8分）
（2）對稱軸為x=

a+2

4

，又因為a＞2，所以

a+2

4

＞1
當1＜

a+2

4

＜2，即2＜a＜6時，則x=

a+2

4

時，y取最大值

(a+2)2

8

．（9分）
當

a+2

4

≥2，即a≥6時，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函數，
則x=2時，y取最大值2a-4（11分）
綜上所述：當2＜a＜6時，AE=

a+2

4

時，陰影部分面積最大值是

(a+2)2

8

；
當a≥6時，x=2時，陰影部分面積取最大值2a-4（12分）

點評：本題主要考查實際問題中的建模和解模能力，注意二次函數求最值的方法，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．