Question

設點F(0,),動圓P經過點F且和直線y=相切.記動圓的圓心P的軌跡為曲線W,

(1)求曲線W的方程;

(2)過點F作互相垂直的直線l₁、l₂,分別交曲線W于A、B和C、D.求四邊形ACBD面積的最小值.

Answer 1

解：(1)過點P作PN垂直直線y=于點N.

依題意得|PF|=|PN|,

∴動點P的軌跡為是以F(0,)為焦點,直線y=為準線的拋物線,

即曲線W的方程是x²=6y.

(2)依題意,直線l₁、l₂的斜率存在且不為0,

設直線l₁的方程為y=kx+,由l₁⊥l₂得l₂的方程為y=x+.

將y=kx+代入x²=6y,化簡得x²-6kx-9=0.

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁+x₂=6k,x₁x₂=-9.

∴|AB|===6(k²+1).

同理可得|CD|=6(+1).

∴四邊形ACBD的面積S=|AB|·|CD|

=18(k²+1)(+1)=18(k²++2)≥72,當且僅當k²=,即k=±1時,S_min=72.

故四邊形ACBD面積的最小值是72.