Question

設函數f（x）對任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），已知f（1）=2，求f（

1

2

），f（

1

4

）．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）對任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），f（1）=2，易判斷出f（x）≥0，x∈[0，1]，令x=

1

2

，可得f（

1

2

），令x=

1

4

，可得f（

1

4

）．

解答：解：由f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），x₁，x₂∈[0，

1

2

]
∴f（x）=f（

x

2

）•f（

x

2

）≥0，x∈[0，1]
∴f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）•f（

1

2

）=f²（

1

2

）=2，
∴f（

1

2

）=

2

同理可得f（

1

2

）=f²（

1

4

）．
∴f（

1

4

）=

4	2

點評：本題考查的知識點是函數的值，抽象函數的應用，其中根據已知中f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），結合抽象函數求值的方法，利用“湊”的思想，建立已知與未知的聯系，是解答本題的關鍵．本題易忽略對函數值符號的判斷，而錯解為f（

1

2

）=±

2

，f（

1

4

）=±

4	2

．