Question

已知在函數f（x）=mx³-x的圖象上以點N（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整數k，使得不等式f（x）≤k-1992對于x∈[-1，3]恒成 立？如果存在，請求出最小的正整數k，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，得到切線的斜率等于tan

π

4

．建立等式關系，求出m的值，再將切點代入曲線方程，求出n的值；
（Ⅱ）要使得不等式f（x）≤k-1992對于x∈[-1，3]恒成立，即求k≥[1992+f（x）]max，先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，即可求出k的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-1，f′（1）=1，∴3m-1=1，∴m=

2

3

．
∴f（x）=

2

3

x3-x，f(1)=

2

3

-1=-

1

3

．
又點N（1，n）在曲線上，∴n=-

1

3

．…（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=2x²-1，x∈[-1，3]知，
當x∈(-1， -

2

2

)∪(

2

2

   ，3)時f′（x）＞0；
當x∈(-

2

2

，  

2

2

)時f′（x）＜0，
∴f(x)在[-1，-

2

2

]和[

2

2

，3]上遞增，在[-

2

2

，

2

2

]上遞減．…（8分）
∵f(-

2

2

)=

2

3

，f(3)=15，∴f（x）在[-1，3]上最大值為15．∴k-1992≥15，k≥2007．
故存在最小自然數2007．…（12分）

點評：本題以三次函數的切線為載體，主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．