Question

13．已知f（x）=$\frac{2（x-a）}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函數．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）關于x的不等式2m-1＞f（x）有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用函數是奇函數，得到f（x）+f（-x）=0恒成立，推出a=0，b=0，化簡函數的解析式，求出函數的導數，由f'（x）＞0，由f'（x）＜0，求解函數的單調區間．
（II）利用2m-1＞f（x）有解，推出2m-1＞f（x）_min即可，利用函數的單調性求解函數的最值，求解即可．

解答 解：（I）∵$f（x）=\frac{2（x-a）}{{{x^2}+bx+1}}$是奇函數，∴f（x）+f（-x）=0恒成立…（1分）
∴（a+b）x²+a=0恒成立，∴a=0，b=0…（3分）
∴$f（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}$，$f'（x）=\frac{2（1-x）（1+x）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$…（4分）
由f'（x）＞0，得-1＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1或x＜-1          …（5分）
故函數f（x）的增區間為（-1，1），f（x）的減區間為（-∞，-1）和（1，+∞）…（6分）．
（II）∵2m-1＞f（x）有解，∴2m-1＞f（x）_min即可               …（7分）
當x＞0時，f（x）＞0；當x=0時，f（0）=0；當x＜0時，f（x）＜0…（8分）
由（I）知f（x）在（-∞，-1）上為減函數，在（-1，0）上為增函數
∴f（x）_min=f（-1）=-1…（10分）
∴2m-1＞-1，∴m＞0                                    …（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．