Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°，設(shè)AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求直線B₁C₁到平面A₁BC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，即∠A₁BC=60°，根據(jù)線段的長度關(guān)系可得：△A₁BC為等邊三角形，即可得到，進(jìn)而達(dá)到a=1．
（2）由B₁C₁∥平面A₁BC，得點(diǎn)D到平面A₁BC的距離等于點(diǎn)B₁到平面A₁BC的距離．再根據(jù)求B₁到平面A₁BC的距離，分別求出兩個(gè)三角形的面積即可達(dá)到答案．
解答：解：（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，
即∠A₁BC=60°，…（2分）
又連接A₁C，AB=AC，
則A₁B=A₁C，
∴△A₁BC為等邊三角形，…（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°
∴，
∴．…（6分）
（2）易知B₁C₁∥平面A₁BC，又D是B₁C₁上的任意一點(diǎn)，
所以點(diǎn)D到平面A₁BC的距離等于點(diǎn)B₁到平面A₁BC的距離．…（8分）
設(shè)其為d，連接B₁C，
由求d，
又∵CA⊥A₁A，CA⊥AB，
∴CA⊥平面A₁B₁C，并且AC=1，．
因?yàn)椤鰽₁B₁B的面積，并且△A₁BC的面積，…（10分）
所以，
所以B₁C₁到平面A₁BC的距離等于．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中的直線與平面的位置關(guān)系，以及空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，此題屬于中檔題型．