Question

設正四棱錐P-ABCD的側面積為8

5

，若AB=4．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求直線PB與平面PAC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O，取BC的中點E，連接PO，PE，OE．由正四棱錐的性質和四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

PO•S正方形ABCD即可得出．   
（2）利用正四棱錐的性質和線面垂直的判定定理即可得出BO⊥平面PAC，因此∠BPO就是直線PB與平面PAC所成的角．

解答：解（1）連接BD交AC于O，取BC的中點E，連接PO，PE，OE，
由正四棱錐可得PO⊥底面ABCD，PE⊥BC，可得PO⊥OE．
則4×

4PE

2

=8

5

，PE=

5

，PO=

PE2-OE2

=1．
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

PO•SABCD=

16

3

．          
（2）在正四棱錐P-ABCD中，PO⊥平面ABCD，∴BO⊥PO．又BO⊥AC．
∴BO⊥平面PAC，所以∠BPO就是直線PB與平面PAC所成的角．                                         
在Rt△POB中，tan∠BPO=

OB

PO

=2

2

，
∴直線PB與平面PAC所成角的大小為arctan2

2

．

點評：本題考查了正四棱錐的性質與體積、線面垂直的判定與性質定理、直角三角形的邊角關系等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．