Question

如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°。

（1）若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積；
（2）若二面角C-AB-D為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值。

Answer 1

解：（1）如圖，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD， 所以DF⊥AC 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC， 即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°= 在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC， 由勾股定理易知， 故四面體ABCD的體積。 （2）如圖，設(shè)G，H分別為CD，BD的中點(diǎn)，則FG ∥AD，GH∥BC 從而∠FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角， 設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF∥BC， 由AB⊥BC，知EF⊥AB 又由（1）有DF⊥平面ABC， 故由三垂線定理知DE⊥AB 所以∠DEF為二面角C-AB-D的平面角 由題設(shè)知∠DEF=60°， 設(shè)AD=a，則DF=AD·sin∠CAD= 在Rt△DEF中，EF=DF·cot∠DEF= 從而 因Rt△ADF≌Rt△BDF，故BD=AD=a， 從而，在Rt△BDF中， 又， 從而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為。