Question

設橢圓（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得，4c=b+d+|MF|=b+c+，化簡可得3c²=bc+a³=bc+b²+c²；進而可得b=c，則a=c，計算可得答案．
（2）由（1）中a、b的關系，設橢圓方程為x²+2y²=2b²，聯立兩者的方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；令其△＞0得，
b²＞，由根與系數的關系，可以表示出，結合題意，以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，可得又=b，化簡可得b²（k²+1）=4k²，代入中，解可得k的值，進而可得a、b的值；進而可得答案．
解答：解：（1）根據題意，橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項，
則4c=b+d+|MF|=b+c+（＞a＞1），即3c²=bc+a³=bc+b²+c²；
化簡可得，b=c，則a=c，
則e=；
（2）設橢圓方程為x²+2y²=2b²，
聯立，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；
由△＞0得，b²＞，
且x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
==- ①；
又=b得b²（k²+1）=4k²，
代入①解得：k²=1；
即b²=2，a²=4；
橢圓的方程為+=1．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，注意在解題時，聯立直線與橢圓的方程，一定要令△＞0，并計算k、b的關系；保證直線與橢圓有兩個不同的交點．