Question

設函數f(x)=ax³+bx²+cx+d(a，b，c，d∈R，a＞0)，其中f(0)=3，f′(x)是f(x)的導函數．

(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36，f′(5)=f′(-3)=0，求函數f(x)的解析式；

(Ⅱ)若c=-6，函數f(x)的兩個極值點為x₁，x₂，滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2，設λ=a²+b²-6a+2b+10，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：由f(0)=3，可知d=3

(Ⅰ)f′(x)=3 ax²+2bx+c，由f′(5)=f′(-3)=0知

x₁=-3，x2=5是方程f′(x)=0的兩根，

設f′(x)=m(x+3)(x-5)  將f′(-1)=-36代入得m=3

所以f′(x)=3(x+3)(x-5)=3x²-6x-45

比較系數得a=1，b=-3，c=-45

故f(x)=x3-3x²-45x+3為所求 

(Ⅱ)依題意．f(x)=ax³+bx²-6x+d  則f′(x)=3 ax²+2bx-6

又x₁，x₂是方程f′(x)=0的兩根，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，a＞0

則  即

則點(a，b)的可行域如圖

由于λ=(a-3)²+(b+1)²，故λ的幾何意義為P(a，b)與A(3，-1)的距離的平方．觀察圖形知點A到直線3a+2b-6=0的距離的平方d²為λ的最小值

d²=

故λ的取值范圍是(，+∞) .