Question

【題目】公元2019年，石室2160歲！文翁興學2160周年紀念活動于2019年11月9日在石室中學文廟校區運動場隆重召開，會場是由一個長，寬的長方形及兩個以長方形寬為直徑的半圓相接組成，整個會場關于中軸線對稱，圖形如下.

（1）若、兩位同學分別在左右兩個半圓弧上值勤，則、兩位同學在圓弧什么位置時相距最遠，距離為多少？并說明原因.

（2）在（1）問的情況下，若要在主會臺后的會場邊界上關于中軸線對稱的兩點、處分別放置兩個音響，為了達到最好聽覺效果，兩個音響的距離要足夠大，同時、兩位同學聽到兩個音響傳來的聲音時間差不超過0.18秒，求音響距中軸線距離約為多少時為最佳放置點.（注：不超過0.18秒以秒計算，聲音在空氣中的傳播速度為）.

Answer 1

【答案】（1）、兩點分別在圓弧的中點，最遠距離為；

（2）音響距中軸線距離約為時為最佳放置點；

【解析】

（1）分別取兩半圓的圓心為。根據題意，利用三角形的性質可證出.

（2）以所在的直線為軸， 以中軸線為軸建立平面直角坐標系，求出，

利用雙曲線的定義可得，設雙曲線方程為，將點代入方程，從而求出，進而求出即可求解.

（1）分別取兩半圓的圓心為

由題意可得

當四點共線時，、兩點間的距離最大，

此時、兩點分別在圓弧的中點，距離為

（2）以所在的直線為軸， 以中軸線為軸建立平面直角坐標系，

則 ，

根據題意可得,

、兩點在以為焦點的雙曲線上， ，即，

設雙曲線方程為：，則，解得，

所以，解得，

即音響距中軸線距離約為時為最佳放置點.