Question

已知cos（x+

π

6

）=

1

3

，（0＜x＜

π

2

）則cosx=

3 +2 2

6

．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡已知的等式，得到關于cosx與sinx的關系式，用cosx表示出sinx，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系得到sin²x+cos²x=1，將表示出的sinx代入得到關于cosx的方程，求出方程的解，根據(jù)x的范圍，即可得到滿足題意的cosx的值．

解答：解：∵cos（x+

π

6

）=cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

=

3

2

cosx-

1

2

sinx=

1

3

，
∴3

3

cosx-3sinx=2，即sinx=

3 3 cosx-2

3

，
又sin²x+cos²x=1，
∴

(3 3 cosx-2)2

9

+cos²x=1，即36cos²x-12

3

cosx-5=0，
解得：cosx=

3 +2 2

6

＞0，或cosx=

3 -2 2

6

＜0，
又0＜x＜

π

2

，∴cosx＞0，
則cosx=

3 +2 2

6

．
故答案為：

3 +2 2

6

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，余弦函數(shù)的圖象與性質，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．