Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上.不過原點的直線與橢圓交于兩點，且（為坐標原點）.

（1）求橢圓的方程；

（2）試判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）根據題意，列出方程組求得的值，即可求解橢圓的方程；

（Ⅱ）當直線的斜率存在且不為時，設方程為，代入橢圓的方程，求得和，進而轉化得到的表達式，進而得到定值.

詳解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率，又，

∴，∴.

又點在橢圓上，∴，

即，∴，則，

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率存在且不為0時，

設其方程為，

∵分別為橢圓上的兩點，且，

即，∴直線的方程為.

設，

把代入橢圓：，

得，∴，

同理，∴，

∴

當直線中的一條直線的斜率不存在時，則另一條直線的斜率為0，

此時.

綜上所述，為定值.