Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）的部分圖象如下圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（-x）的單調區(qū)間及在x∈[-2，2]上最值，并求出相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）由圖形可以求出A，T，根據周期解出ω，根據圖象過（1，2），把這個點的坐標代入以及φ的范圍求出φ，可得函數解析式．
（2）利用（1）求出函數y的解析式，通過角的范圍x∈[-2，2]，確定函數的最大值以及相應的x 的值．

解答：解：（1）由圖象知A=2，T=8，T=

2π

ω

=8，ω=

π

4

，又圖象經過點（1，2）∴2sin(

π

4

+φ)=2，

π

4

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，即φ=2kπ+

π

4

，k∈Z∵|φ|＜π∴φ=

π

4

f(x)=2sin(

π

4

x+

π

4

)．…（7分）
（2）y=f(-x)=2sin(-

π

4

x+

π

4

)=-2sin(

π

4

x-

π

4

)
由2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，得8k-1≤x≤8k+3，k∈Z，故y=f（-x）在[8k-1，8k+3]，k∈Z上是減函數；
同理函數在[8k+3，8k+7]，k∈Z上是增函數．
∵x∈[-2，2]，由上可知當x=-1時，y=f（-x）取最大值2；
當x=2時，y=f（-x）取最小值-

2

．…（14分）

點評：題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查分析問題解決問題的能力，解題的關鍵是初相的求法要注意，本題是基礎題．