Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（a+b）x²+abx，（0＜a＜b）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線的傾斜角為，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線的斜率等于-1，建立關(guān)于a和b的方程組，解之即可；
（II）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值點(diǎn)，通過(guò)比較極值與端點(diǎn)的大小從而確定出最值．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
由條件得，即，
解得a=1，b=2或a=2，b=1，因?yàn)閍＜b，所以a=1，b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-3x²+2x，f′（x）=3x²-6x+2，
令f'（x）=3x²-6x+2=0，解得．
在區(qū)間[0，3]上，x，f′（x），f（x）的變化情況如下：

所以f（x）_max=6；f（x）_min=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)高考新增內(nèi)容，是常考的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．