Question

已知函數f（x）=lg[H（x）]，且H（x）=

x2+3x+6

x+1

，
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）在區間[2，4]上的最小值；
（3）已知m∈R，命題p：關于x的不等式H（x）≥m²+2m-3對函數f（x）的定義域上的任意x恒成立；命題q：指數函數y=（m²-1）^x是增函數．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

x2+3x+6

x+1

＞0，而x²+3x+6＞0恒成立即可得函數f（x）的定義域；
（2）依題意，當x∈[2，4]時，由H（x）=

x2+3x+6

x+1

=x+1+

4

x+1

+1≥

16

3

，即可求得函數f（x）在區間[2，4]上的最小值；
（3）當命題p為真時，可求得-4≤m≤2；當命題q為真時，可求得m＞

2

或m＜-

2

；由“p或q”為真，“p且q”為假，可分類討論，求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由

x2+3x+6

x+1

＞0，x²+3x+6＞0恒成立得：x+1＞0即x＞-1，
∴f（x）的定義域為：（-1，+∞）．
（2）由H（x）=

x2+3x+6

x+1

=

(x+1)2+(x+1)+4

x+1

=x+1+

4

x+1

+1，x∈[2，4]得：
H（x）在[2，4]上單調遞增；
∴H（x）=x+1+

4

x+1

+1≥H（2）=

16

3

，
∴f（x）_min=lg[H（x）_min]=lg

16

3

-4lg2-lg3；
（3）由在函數f（x）的定義域上 的任意x，H（x）=x+1+

4

x+1

+1≥2

(x+1)• 4 x+1

+1=5，當且僅當x+1=

4

x+1

，即x=1時等號成立．
當命題p為真時，m²+2m-3≤5即-4≤m≤2；而命題q為真時：指數函數m²-1＞1，即m＞

2

或m＜-

2

．
因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當命題p為真，命題q為假時，{m|-4≤m≤2}∩{m|-

2

≤m≤

2

}={m|-

2

≤m≤

2

}；
當命題p為假，命題q為真時，{m|m＜-4或m＞2}∩{m|m＜-

2

或m＞

2

}={m|m＜-4或m＞2}，
所以m的取值范圍為：（-∞，-4）∪[-

2

，

2

]∪（2，+∞）．

點評：本題考查復合命題的真假，著重考查函數單調性的性質，考查函數單調性的判斷與證明，考查“雙鉤函數”的單調性，屬于難題．