Question

（2012•咸陽三模）已知拋物線x²=4y，過點A（0，a）（其中a為正常數）任意作一條直線l交拋物線C于M，N兩點，O為坐標原點．
（1）求

OM

•

ON

的值；
（2）過M，N分別作拋物線C的切線l₁，l₂，試探求l₁與l₂的交點是否在定直線上，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）設直線l方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及向量的數量積公式，即可求

OM

•

ON

的值；
（2）求導數，可得切線方程，聯立方程，即可得到l₁與l₂的交點在定直線y=-a上．

解答：解：（1）設直線l方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+a x2=4y

消去y得x²-4kx-4a=0，所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a
∴y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a=-4ak²+4ak²+a=a
故

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=-4a+a2．…（6分）
（2）求導數，可得y′=

1

2

x，設l₁方程為y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，整理得y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

同理得l₂方程為y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

…（9分）
聯立方程

y= 1 2 x1x- x 2 1 4 (1) y= 1 2 x2x- x 2 2 4 (2)

x₂×（1）-x₁×（2）得(x2-x1)y=

x1x2(x2-x1)

4

，∴y=

x1x2

4

=-a
故l₁與l₂的交點在定直線y=-a上．…（13分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，考查拋物線的切線，解題的關鍵是聯立方程，確定切線的方程，屬于中檔題．