Question

已知F為拋物線C：y²=4x焦點，其準線交x軸于點M，點N是拋物線C上一點
（I）如圖1，若MN的中垂線恰好過焦點F，求點N的y軸的距離
（II）如圖2，已知直線l交拋物線C于點P，Q，若在拋物線C上存在點R，使FPRQ為平行四邊形，試探究直線l是否過定點？并說明理由．

Answer 1

解：（I）∵MN的中垂線恰好經過焦點F，∴|NF|=|MF|=2，
∴x_N+1=2，
∴x_N=1．即點N到y軸的距離為1．
（II）焦點F（1，0），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l：x=my+b．
∵FPRQ為平行四邊形，∴．
∴x₁+x₂=x_R+1，y₁+y₂=y_R．
∵點R在拋物線上，∴，即．
又點P，Q在拋物線上，∴y₁y₂=-2．由得y²-4my-4b=0，∴y₁y₂=-4b．∴-4b=-2，解得．
∴直線l經過定點
分析：（I）由中垂線的性質可得|NF|=|MF|=2，利用拋物線的定義可得x_N+1=2，得到x_N=1．即可求出點N到y軸的距離．
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l：x=my+b．由FPRQ為平行四邊形，可得．利用向量相等即可得出坐標之間的關系，再將直線l的方程與拋物線的方程聯立得到根與系數的關系，從而得出定點．
點評：熟練掌握拋物線的定義、線段垂直平分線的性質、向量相等、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系是解題的關鍵．