Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若在區間上存在不相等的實數,使成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）若函數有兩個不同的極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調增區間為，，單調減區間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入函數的表達式，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，從而求出函數的單調區間；（Ⅱ）問題轉化為求使函數在上不為單調函數的的取值范圍，通過討論的范圍，得到函數的單調性，進而求出的范圍；（Ⅲ）先求出函數的導數，找到函數的極值點，從而證明出結論.

試題解析：（Ⅰ）當時，，．

由，解得，.

當時，＞0，f(x)單調遞增；

當時，＜0，f(x)單調遞減；

當時，＞0，f(x)單調遞增．

所以函數的單調增區間為，，單調減區間為

（Ⅱ）依題意即求使函數在上不為單調函數的的取值范圍.

.設，則，.

因為函數在上為增函數，當，

即當時，函數在上有且只有一個零點，設為.

當時，，即，為減函數；

當時，，即，為增函數，

滿足在上不為單調函數.

當時，，，所以在上成立

（因在上為增函數），所以在上成立，

即在上為增函數，不合題意.

同理時，可判斷在上為減函數，不合題意.綜上

(Ⅲ) ．

因為函數有兩個不同的極值點，即有兩個不同的零點，

即方程的判別式，解得.

由，解得，．

此時，.

隨著變化時，和的變化情況如下：

	＋		－	0	＋
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以是函數的極大值點，是函數的極小值點.

所以為極大值，為極小值．

所以

因為，所以．所以