Question

13．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分別為PD、CD、AD的中點，$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FD}$．
（1）證明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB=2，求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結BD，分別交AC、MN于點O、G，連結EO、FG，推導出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能證明PB∥平面FMN．
（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AC-B的余弦值．

解答 證明：（1）連結BD，分別交AC、MN于點O、G，連結EO、FG，
∵O為BD中點，E為PD中點，∴EO∥PB．…（2分）
又$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FD}$，∴F為ED中點，又CM=MD，AN=DN，∴G為OD中點，
∴FG∥EO，∴PB∥FG．…（4分）
∵FG?平面FMN，PB?平面FMN，
∴PB∥平面FMN．…（5分）
解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD．…（6分）
如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），
則$\overrightarrow{AC}=（{2，2，0}）$，$\overrightarrow{AE}=（{0，1，1}）$，…（7分）
∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一個法向量n₀=（0，0，1）．…（8分）
設平面AEC的法向量為n=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}n•\overrightarrow{AE}=0\\ n•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ 2x+2y=0\end{array}\right.$，…（9分）
令x=1，則y=-1，z=1，∴n=（1，-1，1），…（10分）
∴$cos（{{n_0}，n}）=\frac{{{n_0}•n}}{{|{n_0}||n|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（11分）
由圖可知，二面角E-AC-B為鈍角，
∴二面角E-AC-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．