Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中點．

(Ⅰ)求證：平面PDC⊥平面PAD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－D所成平面角的余弦值；

(Ⅲ)求B點到平面EAC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： (Ⅰ)　　　　　2分 　　　　 　　而　　　　　　　　　　　　　4分 　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　(Ⅱ)連結、，取中點，連結，則， 　　∵平面，∴平面， 　　過作交于，連結， 　　則就是二面角所成平面角.　　　　　　　　　7分 　　由，則. 　　在中，　解得 　　因為是的中點，所以　　　　　　　　　8分 　　而，由勾股定理可得　　　　　　　　　9分 　　　　　　　　　　　　　10分 　　(Ⅲ)連結，在三棱錐中， 　　　　　　　12分 　　　　　點到底面的距離， 　　則由，即　　13分 　　　求得 　　所以點到平面的距離是.　　　　　　　14分 　　解法二： 以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(0，4，0)， 　　(0，2，1)，(0，0，2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分 　　∴＝(2，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，0，0)， 　　＝(0，2，1)，＝(2，4，0)，　　　　　　　　　　　　　　3分 　　(Ⅰ)　 　　又　　　　　　　　　　　　　5分 　　　 　　　　而 　　∴平面⊥平面.　　　　　　　　　　　　　7分 　　(Ⅱ)設平面的法向量 　　由即 　　∴=.　　　　　　　　　　　　　　　　9分 　　平面的法向量＝(0，0，2)， 　　 　　所以二面角所成平面角的余弦值是.　　　11分 　　(Ⅲ)設點到平面的距離為， 　　＝(2，0，0)，=.　　　　　　　　　12分 　　則= 　　所以點到平面的距離是.　　　　　　14分