Question

已知F₁、F₂是橢圓方程=1的左、右焦點,在橢圓上存在一點P(P在第二象限),使得它到左、右準線的距離分別為6和12.

(1)求證:=0;

(2)求以橢圓的焦點為焦點,過點P的雙曲線方程;

(3)(理)求線段PF₂的中垂線方程,它與(2)的雙曲線是否存在交點?

Answer 1

答案：(1)證明:a=,b=,c=5,e=,|PF₁|=ed₁=,|PF₂|=ed₂=,

∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|².

∴PF₁⊥PF₂,即=0.

(2)解：設雙曲線方程為=1,由題意可得P(-3,4),∴2a=|PF₂|-|PF₁|=.∴a=5,

b=.

∴雙曲線方程為=1.

(3)(理)解：線段PF₂的中垂線過線段PF₂的中點(1,2),斜率為2,故中垂線方程為y=2x.

由于它與雙曲線的一條漸近線方程y=2x平行,故它與雙曲線無交點.