Question

已知函數(shù).

(Ⅰ) 若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

(Ⅱ) 若函數(shù)的圖像與軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明：．

Answer 1

解：（I）當時，

則…………………………………………2

因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解.

又因為x>0時，則ax²+2x－1>0有x>0的解.

①當a>0時，y=ax²+2x－1為開口向上的拋物線，ax²+2x－1>0總有x>0的解；

②當a<0時，y=ax²+2x－1為開口向下的拋物線，若ax²+2x－1>0總有x>0的解；

  則需△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此時，－1<a<0.

  綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）. ……………………5

   （II） 設(shè)點A,B的坐標分別是（x₁, 0），（x₂, 0），0<x₁<x₂.

     則點AB的中點橫坐標為

    

則 …………………………………………7

                                            ……………………9

  設(shè)則

       令則

       因為時，，所以在）上單調(diào)遞減. 故

而. 故…………………………………………12