Question

對于數列{x_n}，如果存在一個正整數m，使得對任意的n（n∈N^*）都有x_m+n=x_n成立，那么就把這樣一類數列{x_n}稱作周期為m的周期數列，m的最小正值稱作數列{x_n}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當x_n=2時，{x_n}是周期為1的周期數列；當yn=sin(

nπ

2

)時，{y_n}是周期為4的周期數列．設數列{a_n}滿足an+2=λ•an+1-an(n∈N*)，a1=1，a2=20．
（1）若數列{a_n}是周期為3的周期數列，則常數λ的值是

-1

；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，若λ=1，則S₂₀₁₂=

21

．

Answer 1

分析：（1）直接利用數列{a_n}是周期為3的周期數列以及a_n+2=λ•a_n+1-a_n可以推得（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0即可求常數λ的值；
（2）由題意可得，當λ=1時，a_n+2=a_n+1-a_n，結合a₁=1，a₂=20可求出前幾項，從而可發現數列的周期性規律，進而可求和

解答：解：由（1）數列{a_n}是周期為3的數列，
得a_n+3=a_n，
∵

an+2=λan+1-an an+3=λan+2-an+1

兩式相減可得，a_n+3-a_n+2=λa_n+2-（λ+1）a_n+1+a_n
把a_n+3=a_n代入上式可得（λ+1）（a_n+2-a_n+1）=0，即λ=-1．
（2）由題意可得，當λ=1時，a_n+2=a_n+1-a_n
∵a₁=1，a₂=20
∴a₃=19，a₄=-1，a₅=-20，a₆=-19，a₇=1=a₁，a₈=a₂=20
∴數列{a_n}是以6為周期的周期數列且a₁+a₂+…+a₆=0
則S₂₀₁₂=a₁+a₂+…+a₂₀₁₂
=335（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁+a₂
=21
故答案為：-1，3

點評：本題是在新定義下對數列知識的綜合考查，解答的關鍵是數列周期規律的發現，屬于數列中的難題．