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f(x)是定義在[0,1]上的函數,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x*]上單調遞增,在[x*,1]上單調遞減,則稱f(x)為[0,1]上的單峰函數,x*為峰點,包含峰點的區間為含峰區間.

對任意的[0,l]上的單峰函數f(x),下面研究縮短其含峰區間長度的方法.

(1)證明:對任意的x1x2∈(0,1),x1x2,若f(x1)≥f(x2),則(0,x2)為含峰區間;若f(x1)≤f(x2),則(x*,1)為含峰區間;

(2)對給定的r(0<r<0.5=,證明:存在x1x2∈(0,1),滿足x2x1≥2r,使得由(Ⅰ)所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r;

(3)選取x1x2∈(0,1),x1x2,由(Ⅰ)可確定含峰區間為(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰區間內選取x3,由x3x1x3x2類似地可確定一個新的含峰區間.在第一次確定的含峰區間為(0,x2)的情況下,試確定x1x2x3的值,滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02,且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34.(區間長度等于區間的右端點與左端點之差)

答案:
解析:

  (1)證明:設x*為f(x)的峰點,則由單峰函數定義可知,f(x)在[0,x*]上單調遞增,在[x*,1]上單調遞減.

  當f(x1)≥f(x2)時,假設x*(0,x2),則x1x2x*,從而f(x*)≥f(x2)>f(x1),這與f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x*∈(0,x2),即(0,x2)是含峰區間.

  當f(x1)≤f(x2)時,假設x*(x2,1),則x*<≤x1x2

  從而f(x*)≥f(x1)>f(x2),

  這與f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x*∈(x1,1),即(x1,1)是含峰區間.

  (2)證明:由(I)的結論可知:

  當f(x1)≥f(x2)時,含峰區間的長度為l1x2

  當f(x1)≤f(x2)時,含峰區間的長度為l2=1-x1

  對于上述兩種情況,由題意得

  

  由①得1+x2x1≤1+2r,即x1x1≤2r.

  又因為x2x1≥2r,所以x2x1=2r,②

  將②代入①得x1≤0.5-r,x2≥0.5-r,③

  由①和③解得x1=0.5-r,x2=0.5+r.

  所以這時含峰區間的長度l1l1=0.5+r,即存在x1x2使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r.

  (3)解:對先選擇的x1x2x1x2,由(Ⅱ)可知x1x2=1,④

  在第一次確定的含峰區間為(0,x2)的情況下,x3的取值應滿足x3x1x2,⑤

  由④與⑤可得,當x1x3時,含峰區間的長度為x1

  由條件x1x3≥0.02,得x1-(1-2x1)≥0.02,從而x1≥0.34.

  因此,為了將含峰區間的長度縮短到0.34,只要取x1=0.34,x2=0.66,x3=0.32.


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  (I)證明:對任意的∈(O,1),,若f()≥f(),則(0,)為含峰區間:若f()f(),則為含峰區間:

  (II)對給定的r(0<r<0.5),證明:存在∈(0,1),滿足,使得由(I)所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r:

  (III)選取∈(O,1),,由(I)可確定含峰區間為,在所得的含峰區間內選取,由類似地可確定一個新的含峰區間,在第一次確定的含峰區間為(0,)的情況下,試確定的值,滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02,且使得新的含峰區間的長度縮短到0. 34(區間長度等于區間的右端點與左端點之差)

 

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