Question

已知|

a

|=4，|

b

|=3，(2

a

-3

b

)•(2

a

+

b

)=61．
（1）求

a

與

b

的夾角θ；
（2）求|

a

+

b

|與|

a

-

b

|．

Answer 1

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得cosθ=-

1

2

，從而求得θ的值．
（2）根據(jù) |

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+ b 2+2 a • b

，|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2+ b 2-2 a • b

，運算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由(2

a

-3

b

)•(2

a

+

b

)=61，得4

a

2-3

b

2-4

a

•

b

=61，
即64-27-4×4×3cosθ=61，
求得cosθ=-

1

2

，
再由θ∈[0，π]，可得θ=

2

3

π．
（2）|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+ b 2+2 a • b

=

16+9-2×4×3× 1 2

=

13

；
|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2+ b 2-2 a • b

=

16+9+2×4×3× 1 2

=

37

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應用，求向量的模的方法，屬于中檔題．