Question

（2008•湖北模擬）已知f(x)=3sinωxcosωx-

3

cos2ωx+2sin2(ωx-

π

12

)+

3

12

(ω＞0)．
（1）求函數f（x）值域；（2）若f（x）周期為π，求ω并寫出該函數在[0，π]上的單調區間．

Answer 1

分析：（1）直接根據二倍角公式對所給函數進行化簡整理后再借助與正弦函數的值域即可得到結論；
（2）直接代入周期計算公式求出ω，再結合正弦函數的單調性即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx-

3

2

(2cos2ωx-1)+1-cos(2ωx-

π

6

)=

3

(

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx)-cos(2ωx-

π

6

)+1=

3

sin(2ωx-

π

6

)-cos(2ωx-

π

6

)+1（2分）
=2[

3

2

sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

cos(2ωx-

π

6

)]+1=2sin(2ωx-

π

3

)+1（6分）
∴f（x）值域為[-1，3]（不同變形參照給分）
（2）因為f（x）周期為π，∴ω=1（8分）
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
∴f（x）在[0，

5

12

π]、[

11

12

π，π]上單調遞增，在[

5

12

π，

11

12

π]上單調遞減．（12分）

點評：本題主要考查三角函數中的恒等變換應用．解決這類題目的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．