Question

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
定義：對函數，對給定的正整數，若在其定義域內存在實數，使得，則稱函數為“性質函數”。
（1）判斷函數是否為“性質函數”？說明理由；
（2）若函數為“2性質函數”，求實數的取值范圍；
（3）已知函數與的圖像有公共點，求證：為“1性質函數”。

Answer 1

（1）不能為“k性質函數”
（2）
（3）見解析

（1）根據“性質函數”的概念，列出方程，利用判別式法判斷即可；（2）根據“2性質函數”的概念，列出方程，利用判別式列出關于a的不等式，再利用不等式知識求解即可；（3）由已知條件構造方程，最后化為滿足“1性質函數”的方程即可證明函數成立
解：
（1）若存在滿足條件，則即，………………….   2分
，方程無實數根，與假設矛盾。不能為
“k性質函數”。                    …………………………….   4分
（2）由條件得：，………………….  5分
即（，化簡得
，…………………………….    7分
當時，；…………………………….    8分
當時，由，
即，
。
綜上，。……………………………. 10分
（3）由條件存在使，即。…………………….11分
,,

……………………………. 12分
,…………………………….    14分
令，
則，……………………….   15分
,為“1性質函數”。……….   16分