Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+

2

x

，定義域為（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

．
所以，當(dāng)x∈（0，2）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以在（0，+∞）上f（x）有極小值，極小值為f（2）=1+ln2；
（2）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則f′(x)=

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是a≤

x

2

在[2，+∞）恒成立，
所以a≤1．
所以使函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]；
（3）由（2）知，以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
若a≤0，則f^′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
f（x）在[1，e]上的最小值為f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合題意；
若a＞0，由f^′（x）=0，得x=2a．
當(dāng)x∈（0，2a）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（2a，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以當(dāng)2a≤1，即a≤

1

2

時，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
最小值為f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合題意；
當(dāng)2a≥e，即a≥

e

2

時，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
最小值為f（e）=1+

2a

e

=3，a=e，符合題意；
當(dāng)1＜2a＜e，即

1

2

＜a＜

e

2

時，f（x）在[1，e]上的最小值為f（2a）=ln2a+1=3，a=

e2

2

不合題意．
綜上，使函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3的實數(shù)a的值為e．