Question

設(shè)f（x）=x²-2|x|+3（-3≤x≤3）
（1）證明f（x）是偶函數(shù)；
（2）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

（1）證明：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|-3≤x≤3}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
又f（-x）=（-x）²-2|-x|+3=x²-2|x|+3=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）解：
作出函數(shù)的圖象，如圖
，
可知：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-1，0]和[1，3]
（3）解：由（2）知，x=±1時(shí)，函數(shù)取得最小值；x=±3時(shí)，函數(shù)取得最大值
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，6]．
分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-3≤x≤3}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系，可得結(jié)論；
（2）寫(xiě)出分段函數(shù)，即可作出函數(shù)的圖象，從而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）根據(jù)圖象可得函數(shù)的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判定，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，正確作出函數(shù)圖象是關(guān)鍵．