Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，E、F分別是棱CC₁、AB中點．
（1）判斷直線CF和平面AEB₁的位置關系，并加以證明；
（2）求四棱錐A-ECBB₁的體積．

Answer 1

解：（1）CF∥平面AEB₁，證明如下：
取AB₁的中點G，連接EG，FG
∵△A₁AB中，F、G分別是棱AB、AB₁中點
∴FG∥B₁B且FG=B₁B
又∵矩形BB₁C₁C中，EC∥B₁B且EC=B₁B
∴EC∥FG且EC=FG，得四邊形FGEC是平行四邊形
∴CF∥EG
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，而且BB₁、BC是平面ECBB₁內的相交直線
∴AC⊥平面ECBB₁
∵E是棱CC₁的中點，得EC=AA₁=2
∴S_梯形ECBB1=（EC+BB₁）BC=（2+4）×2=6
∴四棱錐A-ECBB₁的體積V=S_梯形ECBB1×AC=×6×2=4
分析：（1）取AB₁的中點G，連接EG，FG．根據三角形中位線定理，得出FG∥B₁B且FG=B₁B，又因為矩形BB₁C₁C中，EC∥B₁B且EC=B₁B，所以EC與FG平行且相等，四邊形FGEC是平行四邊形，CF∥EG，從而得到CF∥平面AEB₁．
（2）根據題意，計算出梯形ECBB₁的面積，結合AC⊥平面ECBB₁和錐體體積公式，即可算出四棱錐A-ECBB₁的體積．
點評：本題在直三棱柱中探索線面平行，并求錐體體積公式，著重考查線面平行的判定、線面垂直的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．