Question

若對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，則f（x）（　　）

A．恒大于0	B．恒小于0
C．恒等于0	D．和0的大小關(guān)系不確定

Answer 1

令g（x）=x²f（x），
則g^′（x）=2xf（x）+x²f^′（x）
=x（2f（x）+xf^′（x）），
因?yàn)?f（x）+xf′（x）＞0，
所以，當(dāng)x＞0時(shí)，g^′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＜0時(shí)，g^′（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
所以，當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)g（x）有極小值，也就是最小值為g（0）=0．
所以g（x）=x²f（x）恒大于等于0，
當(dāng)x≠0時(shí)，由x²f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0時(shí)，有2f（0）+0×f^′（0）＞0，所以f（0）＞0．
綜上有f（x）恒大于0．
故選A．