Question

已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）通過bn=

Sn

n+c

構造一個新的數列{b_n}，是否存在一個非零常數c，使{b_n}也為等差數列；
（3）求f(n)=

bn

(n+2009)•bn+1

(n∈N+)的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用通項公式，建立關于a₁，d 的方程組，并解出a₁，d 可求通項公式．
（2）寫出bn的表達式，根據等差數列通項公式特點：關于n的一次函數形式，確定是否存在．
（3）研究f（n）的函數性質，結合分式形式，考慮用基本不等式法求最值．

解答：解：（1）∵等差數列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

⇒

a2•a3=45 a2+a3=14

⇒

a2=5 a3=9

⇒d=4⇒an=4n-3．
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=2n(n-

1

2

)，bn=

Sn

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

，
令c=-

1

2

，即得b_n=2n，數列{b_n}為等差數列，
∴存在一個非零常數c=-

1

2

，使{b_n}也為等差數列．
（3）f(n)=

bn

(n+2009)•bn+1

=

n

(n+2009)(n+1)

=

1

n+ 2009 n +3000

＜

1

2 2009 +3000

，
∵1936＜2009＜2025⇒44＜

2009

＜45，
∵n∈N⁺，
∴n=45時，f(n)=

1

n+ 2009 n +3000

有最大值

45

2054×46

．

點評：本題考查等差數列的定義，通項公式，數列的函數性質，考查分析解決問題、計算的能力．