Question

函數f（x）=x³-ax²+的極值點是x₁，x₂，函數g（x）=x-alnx的極值點是x₀，若x₀+x₁+x₂＜2．
（I ）求實數a的取值范圍；
（II）若存在實數a，使得對?x₃，x₄∈[1，m]，不等式f（x₃）≤g（x₄）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（I ）∵函數f（x）=x³-ax²+的極值點是x₁，x₂，，
∴，x₁，x₂是方程的兩個根，
∴，x₁+x₂=a，
∵g（x）=x-alnx的極值點是x₀，
∴，（x＞0）．
當a≤0時，g′（x）＞0，函數無極值點．
當a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當x∈（a，+∞），g′（x）＞0，
函數的極值點x₀=a．
∵x₀+x₁+x₂＜2．
∴，
∴．
（II）∵，
∴g（x）在[1，m]上為增函數，
∴g（x）_min=g（1）=1．
導函數f′（x）的對稱軸為x=，，
∴x₁，x₂都是小于1的正數，
∵f′（x）=（x-x₁）（x-x₂），令x₁＜x₂，
∵，
∴f（x）在[1，m]上為增函數，
∴，
∴，
即-27m²a+18m³+4m≤0，
∵m＞1，令h（a）在（）為減函數，
∴h（1）＜0，即18m³-27m²+4m＜0，
解得，
∴．
分析：（I ）由，x₁，x₂是方程的兩個根，，x₁+x₂=a，由，（x＞0）．知當a≤0時，g′（x）＞0，函數無極值點．當a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當x∈（a，+∞），g′（x）＞0，函數的極值點x₀=a．由此能求出實數a的取值范圍．
（II）由，知g（x）在[1，m]上為增函數，故g（x）_min=g（1）=1．導函數f′（x）的對稱軸為x=，由此入手能夠求出實數m的取值范圍．
點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．