Question

【題目】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，原點到過點，的直線的距離是．

1求橢圓的方程；

2設動直線與橢圓有且只有一個公共點，過作的垂線與直線交于點，求證：點在定直線上，并求出定直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

1由拋物線的焦點坐標求得，結合隱含條件得到，再由點到直線的距離公式得到關于a，b的另一關系式，聯立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；2聯立直線方程和橢圓方程，消去y得到，由判別式等于0整理得到，代入求得P的坐標，然后寫出直線方程為，聯立方程組，求得，即說明點Q在定直線上．

1由拋物線的焦點坐標為，得，

因此，

直線AB：，即．

原點O到直線AB的距離為，

聯立，解得：，，

橢圓C的方程為；

2由，得方程，

由直線與橢圓相切，得且，

整理得：，

將，即代入式，得，

即，解得，，

又，，則，

直線方程為，

聯立方程組，得，

點Q在定直線上．